Mathematik und Physik in der Musik

Töne und Klänge in der Physik

Töne und Klänge sind die Grundbausteine der Musik.

Physikalisch gesehen ist ein Ton eine Sinusschwingung, charakterisiert durch die Parameter Frequenz (Tonhöhe = Schallschwingungen pro Sekunde) und Amplitude (Lautstärke). Schallwellen werden von der Luft und anderen Materialien übertragen als kleine, periodische Druckschwankungen. Je stärker die Druckschwankungen am Ohr ankommen, desto lauter ist der Ton und je schneller die Druckschwankungen sich ändern, desto höher ist der Ton.

In der Physik ist ein Klang die Zusammensetzung verschiedener Sinustöne, wobei deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundtonfrequenz sind; musikalisch wird dies jedoch noch als Ton bezeichnet. Die Höhe und Anzahl der Obertöne ermöglichen es dem Menschen, z.B. die Klänge einer Trompete von denen einer Klarinette oder einer Violine zu unterscheiden. In der Musik wird der Begriff "Klang" erst im Zusammenhang mit Intervallen und Akkorden verwendet.

Die Schallausbreitung erfolgt in der Luft mit etwa 340 Metern pro Sekunde (etwa 1200 km/h) und ist in geringem Maße abhängig von der Temperatur und z.B. der Luftfeuchtigkeit und Viskosität des Materials. Diese relativ geringe Ausbreitungsgeschwindigkeit wird an vielen Beispielen deutlich: beim zeitliche Abstand zwischen Blitz und Donner oder bei der Beobachtung eines hämmernden Arbeiters aus einiger Entfernung. Auch die Kirchenglocken, die beim Vorbeifahren mit einem Fahrzeug ihre Tonhöhe verändern, ist auf den nicht sehr großen Unterschied von Fahrzeuggeschwindigkeit und Schallgeschwindigkeit zurückzuführen (1:20). Fährt man auf die Schallquelle zu, so treffen die Druckschwankungen der Schallquelle häufiger am Ohr ein und man hört einen höheren Ton.

Selbst bei der Tonübertragung von Kapellen muss die Schallgeschwindigkeit berücksichtigt werden: Die Signale zu den Lautsprechern in einem Saal oder Zelt müssen entsprechend ihrem Abstand zur Kapelle verzögert werden, da sonst eine Mischung aus Direktschall und übertragenem Signal zu einem verfälschten Klangbild und für die Zuhörer zu Problemen bei der Ortung der Schallquelle führen.

Das Ohr und die Töne

Das menschliche Ohr nimmt Schallschwingungen ab einer Frequenz von etwa 16 Hz (Einheit Hertz, 1 Hz = 1 Schwingung pro Sekunde) als sehr tiefen Ton wahr. Der höchste wahrnehmbare Ton liegt bei Kindern und Jugendlichen bei etwa 20000 Hz (20 kHz) und lässt mit höherem Alter nach. Der hörbare Tonumfang entspricht etwa 10 Oktaven.

Die Lautheitsempfindung eines Tones hängt von der Tonhöhe ab. Das Gehör ist in den mittleren Frequenzen zwischen 1000 Hz und 3000 Hz am empfindlichsten. Sehr tiefe oder hohe Töne müssen, um gleich laut empfunden zu werden, einen mehrere hundert mal größeren physikalischen Schalldruck besitzen. Dieser Effekt ist sehr deutlich bei geringen Lautstärken, bei hohen Intensitäten ist das Ohr in einem weiten Frequenzbereich annähernd gleich empfindlich. Das heißt aber auch, dass Musik von einem Tonträger nur dann dem Live-Original nahe kommen kann, wenn sie entsprechend laut abgespielt wird. In Stereoanlagen wird üblicherweise diesem Effekt dadurch begegnet, dass mit einer sogenannten gehörrichtigen Lautstärkekorrektur (Loudness) die tiefen und hohen Frequenzen bei leiser Einstellung angehoben werden.

Überhaupt ist der Lautstärkeumfang, den das Ohr noch verarbeiten kann, enorm groß: die Schallleistungen zwischen der Hörschwelle und der Schmerzgrenze liegen etwa im Verhältnis von 1 : 100.000.000.000 (100 Milliarden)! Allerdings werden Lautstärkeänderungen erst ab etwa 20% vom Gehör überhaupt wahrgenommen.

Die kleinste Tonhöhenschwankung, die ein Mensch empfinden kann, hängt ebenfalls von Lautstärke und Tonhöhe ab. Menschen mit besonders empfindlichem Gehör unterscheiden im Frequenzbereich von 600 Hz bis 5000 Hz noch Tonhöhenschwankungen unter 0,1 % der Tonfrequenz.

Stimmungen

Als Bezugspunkt für die Tonfrequenzen in der Musik ist der Kammerton a¹ mit einer Frequenz von 440 Hz festgelegt. Das war nicht immer so: In der Renaissance wurde das eingestrichene a¹ mit 446 Hz gewählt, am Ende des 17. Jahrhunderts wurde der Standard auf 415 Hz für a¹ festgelegt. 1834 ordnete der Physiker Johann Heinrich Scheibler dem Ton a¹ die Frequenz 440 Hz zu. Mitte des 19. Jahrhunderts baute man Instrumente, deren Stimmung für den Kammerton a¹ bei 452 Hz lag ("alter philharmonischer Stimmton"). Zurückgehend auf Überlegung des Physiker Jules Antoine Lissajous wurde dann von der französischen Regierung 1859 als Referenz a¹ auf 435 Hz festgelegt. Erst 1939 wurde international für a¹ die Frequenz von 440 Hz standardisiert.

Ausgehend vom eingestrichenen a¹ werden die anderen Töne der Tonleiter abgeleitet. Für diese Ableitungen wird unterschieden zwischen der pythagoreischen, der harmonisch-reinen und der temperierten Stimmung.

Die Pythagoreer (Anhänger des griechischen Philosophen Pythagoras) fanden bei Versuchen mit einem Monochord (einem einsaitigen Instrument) heraus, dass die Töne dann harmonisch klingen, wenn die Saitenlängen einem Verhältnis kleiner ganzer Zahlen entspricht. So wurden für die Oktave, die Quinte und die Quarte die Verhältnisse 2:1, 3:2 und 4:3 angegeben. Daraus abgeleitet wurden andere Tonintervalle, wie z.B. die große Sekunde (9:8) und die große Terz (81:64). Diese als pythagoreische bezeichnete Stimmung war bis ins frühe Mittelalter alleinherrschend.

In der harmonisch-reinen Stimmung erhielt die große Terz das einfache Verhältnis von 5:4, die kleine Terz das von 6:5, die sich gemeinsam zur reinen Quinte (3:2) ergänzen. Die harmonisch-reine Stimmung ergibt, wie ihr Name schon sagt, die ungetrübtesten harmonischen Zusammenklänge.

Vor allem bei Tasteninstrumenten ist es nicht möglich, alle Töne so zu stimmen, dass diese Frequenzverhältnisse exakt erfüllt werden. Man teilt deshalb die reine Oktave in 12 gleiche Halbtöne auf und erhält so die gleichschwebend-temperierte Stimmung. Die Frequenzen der einzelnen Halbtonstufen verhalten sich wie

d.h. von jedem Ton aus kann die Frequenz des nächsten Halbtons durch Multiplikation mit diesem Faktor bestimmt werden.

Bei der temperierten Stimmung entfallen allerdings die Unterschiede zwischen großem und kleinem Ganzton sowie den enharmonischen Tönen (z.B. cis und des).

Einige Schwingungsverhältnisse von Intervallen der drei Stimmungsarten sind in der folgenden Tabelle zu sehen. Um noch einfacher vergleichen zu können, werden die relativen Tonhöhen auch in Cents (C) angegeben. Ein Cent ist der zwölfhundertste Teil eine Oktave oder der hundertste Teil eines temperierten Halbtones. Sie sind für die genannten Intervalle als gerundete Werte mit angegeben.